28 Ocak 2016 Perşembe

Bu soruyu çözene 50 bin lira ödül var

Yurdun dört köşesindeki matematik öğretmenlerinin zaman zaman coşayazarak çözülemeyen sorulara ödül biçmeleri medyamız ve Bilim Bilmiyim için yeni bir şey değil. Bu defa akıllara durgunluk verecek matematik sorusu ile bizlere seslenen isim, Diyarbakır'dan Nazım öğretmen.
Matematik öğretmeni olan Nazım Yokuş, 17 yıldır üzerinde çalıştığı, ama önce cevabını bulup sonra soruyu ürettiği, ve çözebilene arabasını satarak 50 bin lira ödül vaad ettiği problemi açıklıyor:

1 sayısından küçük, en büyük reel sayı kaçtır?




Gördüğünüz gibi klavye başında hummalı bir çalışma söz konusu.
Önce reel sayılardan bahsedelim.
Reel sayıların klasik tanımı, sayı doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta. Oldukça yetersiz ve ezber olan bu tanım yerine örnek vermemiz gerekirse:
1, 2, 3, 4...
1/3, 7/9, 15/6....
0.746767262764 
3.141592
-1.11111111111
√7
ve benzeri.

''E başka sayı kalmadı? Hangi sayı reel değil?'' derseniz, sanal sayıları örnek verebiliriz: √-1 gibi.

Nazım bey, 1'den küçük en büyük reel sayıyı soruyor. Yani 0.9999 hatta 0.99999999 hatta 0.99999999. Klavyesinde en çok 9'a basabilenin kazandığı bu tatlı yarışa habere yorum getiren vatandaşlar da araba ödülü için dahil olmuş:

Saf matematiksel olan ve fiziki karşılığı olmayan sonsuzluk kavramını özümsemeye çalışmak bugün sadece Nazım Yokuş'u değil, Antik Yunan'dan beri tüm insanlığı yoran bir problem. Yani Nazım Öğretmen'in iddia ettiği gibi matematikte bir açık, akıllara yeni gelen unutulmuş bir sökük değil:
''Matematikte bir açık aradığını kaydeden Yokuş, kimsenin bulamayacağı bir sorunun kendine dert olduğunu ifade etti. Yokuş, şunları söyledi:"Acaba kimsenin bulamayacağı, kimsenin bilemeyeceği matematikte bir açık var mıdır diye dert edinirken, uğraşırken böyle bir soru aklıma geldi.''
Bilim Bilmiyim duruma el atsın. Eğer reel sayılarla uğraşıyorsak,1'den ufak 'en büyük' sayıyı işaret edebilmek için bu sonsuz elemanlı kümeden bir seçim yapmamız gerekiyor. Diyelim ki 'x' sayısını, bu iş için uygun gördük. O halde,

x < 1

Fakat x bir reel sayı ise, 1+x de bir reel sayidir. Ve (1+x)/2 de, x < 1 olduğu için 1'de küçük olacaktır. Bu durumda, 

(1+x)/2 < 1 

ve de,

x < (1+x)/2

Burada bir çelişki elde ediyoruz. Bize '1den küçük en büyük reel sayı' özelliğini veren herhangi bir x sayısı için, mutlaka bir (x+1) / 2 sayısı olur ve bu durumda x artık bu özelliği sağlamaz. Bu sırada haberde neden Nazım Öğretmenin sorunun bir cevabı olması gerektiğine dair ısrarına dönelim:

''Niye cevabının olması gerektir, mantık gereği 1 sayısından küçük reel sayı olarak düşünürseniz sonsuz tane var. Küçük olan bir sürü var. Bunlardan bir tanesi muhakkak büyük olmalı. Bu süreç içerisinde ben bu soruyu Houston Üniversitesi'ne gönderdim mail aracılığı ile buradaki Zirve Üniversitesi'ne gönderdim mail aracılığı ile sızıntı dergisine gönderdim. Üniversite olarak 3 üniversiteye yayın kuruluşuna sordum kişi olarak da 600'e yakın bir kişiye sordum. Biz bu sorunun cevabını biliyoruz. Bunun matematiksel olarak ifade edilmesini istiyoruz ispat açısından.''
 Matematikçiler asırlarca yormuş, son derece teknik bir sayı kümesi olan reel sayılar, yine filozofları ve matematikçileri asırlarca yormuş sonsuzluk kavramı ile birleştiğinde, sadece Nazım öğretmenin değil hepimizin kafasını karıştıran bir sorun çıkıyor ortaya. Fakat bu sorunun cevabının, 'merak edilen' birşey olamayacağını, haberi hazırlayan ekipten birilerinin farkedip, metni buna göre yazması ve Gözde öğretmeni uyarması gerekirdi:
''Nazım Yokuş'a sorusunun uluslararası alanda duyulması için destek veren aynı okulda görevli İngilizce öğretmeni Gözde Saral da, "Nazım hoca okulumuzun çok değerli matematik öğretmenidir. Bir gün geldi ve böyle bir projesi olduğundan bahsetti. Ben çok etkilendim. Aynı zamanda bu soruyu uluslararası şekilde herkese sunup cevap arayacağından bahsetti. Bu yüzden projesini İngilizce'ye çevirme ihtiyacı vardı. Bu anlamda benden yardım istedi. Projeyi ilk okuduğumda ben de çok etkilendim. Ve yardım etmek istediğimi kendisine belirttim ve bunun ardından çevirmeye başladım. Açıkçası sorunun cevabını ben de merak ediyorum ve bilmiyorum" diye konuştu.''
 Uzatmayalım. Sonsuzluk ve reel sayılar konusundaki kafa karışıklığı ve merak anlamında Nazım Yokuş'u kalpten anlıyor, üzerine gittiği sorunun cevabının bir eşitsizlik doğurduğunun matematikte birçok kez gösterildiğini hatırlatıyoruz.


Not: Haberi getiren Erman Korkut'a, yazıyı hazırlarken danıştığım Yusuf Gören'e ise Peano'dan Cantor'a leziz matematik sohbet ve tartışmaları için teşekkürler!










13 yorum:

  1. bir eksi 1 bölü sonsuz eşittir 1( 1- 1/∞ = 1) . evet 1 den küçük en büyük reel sayı yine 1'dir. bu kadar basit. bu adam böyle saçma şeylere niye kafa yoruyor ki ? bunlar matematiği sevdirmez aksine nefret ettirir.

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. Bu yorum yazar tarafından silindi.

      Sil
    2. Senin dediğin şey sonuç değildir, limitidir.

      Sil
  2. "reel sayı" çok iddialı olmuş esasında. yoksa her pozitif reel sayıdan küçük bir epsilon tanımlayıp mesela 1-epsilon diyebilirdik. ha o zaman 1-epsilon^2 ne olur mevzusuna hiç girmiyorum tabii.

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. Epsilon mantığından gidileceğini düşünüyorum fakat ayrıca adamın bile kendi sorusuna tam cevap bulmadığından eminim.

      Sil
  3. Nazım Bey'in metafiziğe duyduğu örtük özlemi hayranlıkla karşılıyorum. İnsanı çıplak bir anlamsızlık girdabına iten dünyada, "matematiğin bir açığını" aramayı kendine görev edinen ve "kimsenin bulamayacağı bir soru bulmanın kendine dert olduğunu" dillendiren vatandaşa halk modernizmi ödülü vermeliyiz. Onu matematikle değil, edebiyatla yargılayalım. Genç Törless'in sonsuz kavramı karşısında duyduğu o duygusal karmaşayı "uluslararası ses getirecek büyük bir proje" planı ile birleştirerek, Musil'in iki modernist eserini, Genç Törless ile Niteliksiz Adam'ı birleştiren bir halk efsanesi yaratmış. Önünde saygıyla eğiliyorum.

    YanıtlaSil
  4. Bloglar Yarışıyor ile siz de blogunuzla kazanmaya aday olun, blogunuzu tanıtın, promosyon ödüller kazanın. Sponsorlarımızın desteği ile bloglar arası etkinlik yarışmamızı 2016 yılı içerisinde yeniden düzenliyoruz. Detaylı bilgiyi websitemizden öğrenebilirsiniz.
    İlginiz ve desteğiniz için teşekkürler!

    Bloglar Yarışıyor, Hemen Şimdi Siz de Katılabilirsiniz


    Web : http://www.bloglaryarisiyor.net
    Mail: iletisim@bloglaryarisiyor.net
    Tel : +90212 330 9707

    YanıtlaSil
  5. Bu yorum yazar tarafından silindi.

    YanıtlaSil
  6. Bu yorum yazar tarafından silindi.

    YanıtlaSil
  7. Bu yorum yazar tarafından silindi.

    YanıtlaSil
  8. Bu yorum yazar tarafından silindi.

    YanıtlaSil
  9. Nazım Bey, konuyu biraz daha özümseyip soruyu bir radde farklılastırabilseymiş daha 'şekil' olurmuş hani.(Nitekim 4 yıllık Matematik lisans eğitimi sonunda yeterince ozumsenmesi gerekirdi ve hatta lise eğitiminin bu bağlamda yeterli olması beklenirdi,herneyse konu eğitim sistemimiz değil). Şayet soru şu şekilde sorulsaydı Elealı Zeno'nun suallerine bir nebze daha yaklaşılmış olurdu : " 1'den küçük herhangi bir reel sayı ile 1 arasında sonsuz tane reel sayı olduğu halde, nasıl olur da 1'e doğru ilerlerken,sonsuz nokta katedildiği halde, 1 noktası geçilemez". Aslında soru böyleyken de Nazım Bey'in sorusuyla aynı şeyi ifade ediyor ve reel sayılar cümlesinin postulatları ve de temel analiz bilgisiyle kolayca cevaplanabilecek sorular. Fakat Zeno soruyu değişik sormuş ve fiziksel olaylarda durumun neden farklı olabildiğini paradoksal bir cihette ifade etmiş.Yani fiziksel dünyayı ifade eden ozniteliklerin(uzam ve zaman) reel sayılar cümlesi ile tanimlanmasinin doğruluğu sorgulanır bir yerde. Fiziksel değişkenlerin reel sayılar kümesi ile değil de sonlu dizilerle (ya da sonsuz dizilerle,sadece sonsuz küçük olgusunu dislamak suretiyle) ifade edilmesi ve de ayrık(kesikli) fonksiyonlarla çalışılmasi daha uygun olabilir miydi? Aşil ve Kaplumbağa Paradoksu bizi zaman domeninde düşünceye sevk eder, Dikotomi Paradoksu ise uzamsal domende kafamızı karıştırır. Acaba hem zamanda hem de uzamda ayrıklaştırma bize Zeno'nun suallerini cevaplama şansı verebilir miydi? Veyahut birini ayrıklastırıp diğerini sürekli kılmak suretiyle kuantalanmış sürekli fonksiyonlar ile çalışmak... Maddenin en küçük yapı taşını keşfetme serüveninin bir gün son bulacağı ve o gün daha küçüğünün bulunamayacağının tespit edilmiş olması varsayımıyla, uzamdaki 'sonsuz küçük' olgusu pek tabii dışlanabilir. Yani uzam değişkeni dizilerle ifade edilebilinir. Evrenin sonlu olduğu da kesin bir şekilde ispat edildiği taktirde uzam daha spesifik olarak sonlu dizilerle de ifade edilebilinir ve sonsuz büyük olgusu da devre dışı kalır. Zaman denilen şeyi de teşkil edenin, bu uzamsal sinyallerin duyu organlarımız vasıtasıyla farklı bir enerji formuna dönüşerek(elektrik sinyali) beynimizde oluşturduğu algıdan ibaret olduğu düşünüldüğünde zaman tanım bölgesi(domeni) de pek tabii ayrıklaştırılabilinir. Algisal değil de mutlak bir zamandan bahsetmemiz gerekiyor ise hem mekanik hem elektriksel saatlerin de ayrık sinyallerle çalıştığını hatırlamak gerek...

    YanıtlaSil
  10. Şu nasıl olur?
    1/3=0,3333...
    Bunu 3 ile çarpalım.
    3 x 1/3

    YanıtlaSil